NÚMEROS NATURALES

AXIOMAS DE PEANO

Pretenden encontrar un sistema simple de axiomas que caractericen los números naturales y nos permitan deducir a partir de estos, todas las propiedades de los números naturales, utilizando las reglas de la lógica.

Los 5 axiomas de Peano

1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural.
5. Inducción matemático: Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. 

Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no

A continuación, le adjunto un vídeo explicativo sobre los axiomas de Peano:

https://www.youtube.com/watch?v=IiBBTe9wbdw

DEFINICIÓN DE + EN N

Construcción del natural

Construcción cardinal. Paso al ordinal: el siguiente de un nº natural es añadir uno. Se obtiene la secuencia.

Construcción ordinal. Paso al cardinal: cuando se habla de último numero natural que resulta al poner en correspondencia biyectiva el conjunto A con la parte finita es cardinal.

IMPLICACIONES ENTRE CARDINAL Y EL ORDINAL

• El cardinal de un conjunto coincide con el último ordinal.
• Las operaciones. a+n=b
• Asociarlos entre ellos. Ejemplo, si el osito está en el 7º escalón, ¿cuántos escalones hay?; si el osito ha subido 7 escalones ¿en qué escalón está?
• Isomorfismo de orden. están ordenados. Se mantiene el orden, es parecido a la correspondencia uno a uno
• Relaciones isomórficas entre el cardinal y el ordinal.
• Del cardinal al ordinal:
• Si a es menor o igual a b, entonces "a" es anterior a "b" en la secuencia.
• Si b es menor o igual a a, entonces "a" es posterior a "b" en la secuencia.
• Del ordinal al cardinal:
• Si "a" es anterior a "b" en la secuencia, entonces a es menor o igual a b
• Si "a" es posterior a "b" en la secuencia, entonces b es menor o igual a a.
• Transformaciones que cambian el ordinal
• (Juan, Ana, Patri, Antonio, Javier) si cambianos el orden (Juan, Patri, Antonio, Javier, Ana), el nº cardinal no varía ya que sigue habiendo 5 niños, pero el ordinal en Ana cambia porque antes era el 2 y ahora el 5.
• Transformaciones que cambian al cardinal
• (Juan, Ana, Patri, Antonio, Javier) Se le añade a  este conjunto uno más y ya cambia el cardinal pero no el ordinal. (Juan, Ana, Patri, Antonio, Javier, Miriam)

A continuación les adjunto el número natural a través de LINOIT:

http://linoit.com/users/myrigg17aig/canvases/EL%20n%C3%BAmero%20natural